— М.: Изд-во МГУ, 1983. — 216 с.
| Рассказывается
о формировании
современных представлений о размерности пространства. Особое внимание
уделяется
взаимодействию физики я математики. В связи с проблемой размерности
анализируется
творчество Пуанкаре, Эйнштейна, Эренфеста. Рассматривается эволюция
взаимоотношений
физики с геометрией и квантовые пределы применимости обычного
геометрического
описания пространства-времени.
Развивается подход к понятию размерности, основанный на идее метрической зависимости и связывающий понятие размерности с законами сохранения. В приложении впервые на русском языке публикуется статья Эренфеста 1917 г. о трехмерности пространства. Для специалистов, интересующихся историей становления я современным состоянием пространственно-временного описания в физике. |
ОГЛАВЛЕНИЕ
Глава 1. Предыстория. Понятие числа измерений на протяжении двух с половиной тысячелетий
Глава 2. Возникновение топологического понятия размерности и физика
2.1. Творчество Пуанкаре в история
понятия
размерности
2.2. Определение понятия размерности
2.3. Размерность физического пространства
и Пуанкаре
2.4. Гипотеза квантов и понятие
размерности
пространства-времени в 1912 г.
2.5. Топологическая теория размерности
Глава 3. Теория относительности Эйнштейна и размерность пространства-времени
3.1. Топология и метрика
пространства-времени
в теории относительности
3.2. Координаты и теория относительности
3.3. Сингулярности пространства-времени
и координаты
3.4. Эйнштейн и четырехмерность
пространства-времени
3.5. Дискретность в квантовой физике и
непрерывность четырехмерного пространства-времени в ОТО
Глава 4. Физический статус понятия размерности пространства, выявленный Эренфестом
4.1. Трехмерность пространства и
фундаментальные
законы физики
4.2. Какой должна быть n-мерная
физика?
4.3. Предпосылки работы Эренфеста
4.4. Работа Эренфеста о трехмерности
пространства
и Эйнштейн
4.5. Значение работы Эренфеста
Глава 5. Квантовые границы классической геометрии ОТО
5.1. Рождение планковских величин
5.2. Гравитация и кванты
5.3. Рождение квантовой гравитации и М.
П. Бронштейн
1. Краткая биография
2. Теория гравитации в работах Бронштейна
5.4. "...принципиальное различие между
квантовой электродинамикой и квантовой теорией гравитационного поля"
5.5. Планковские величины и квантовая гравитация
5.6. История теоретической физики и константы c, G, h
Глава 6. Проблема размерности и метрическая структура пространства-времени
6.1. Локальная структура
пространства-времени
и идея фундаментальной длины
6.2. Физическое пространство-время и
топология.
Соотношение метрических и топологических структур
6.3. Метрика, мера, размерность и проблема
расходимостей
6.4. Определение размерности, основанное
на метрике
Глава 7. Размерность пространства-времени и симметрии пространственно-временного описания
7.1. Десять симметрии
пространства-времени
в СТО и четырехмерность
7.2. Принцип соответствия и
пространственно-временные
симметрии
7.3. Подход к симметриям в римановой
геометрии,
основанный на метрическом понятии размерности (неформальное описание)
7.4. Размерность риманова пространства
Rn и квазигруппа
Пуанкаре
qPRn
1. Понятие размерности, выраженное на метрическом языке, и метрические
координаты
2. Квазигруппа Пуанкаре
3. Случай геометрии Минковского
4. О пространственно-временных законах сохранения в ОТО
Глава 8. Понятие размерности пространства-времени и современная физика
8.1. Об эволюции взаимоотношений
геометрии
и физики
8.2. О выделенности значения размерности,
равного 3+1
8.3. Экстремальные состояния вещества
и космология ранней Вселенной
1. Происхождение
реликтового излучения и квантово-гравитационная космология
2. Единицы для квантово-гравитационной космологии
8.4. Космология ранней Вселенной и
размерность
пространства
1. Проблема горизонта и размерность пространства в ранней Вселенной
2. Возмущения плотности в n-мерной Вселенной
3. Меняющаяся размерность пространства в космологии ранней Вселенной
Приложение.П. Эренфест. "Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения?"
Литература
Указатель
Понятие размерности, или числа измерений, имеет важное значение в двух существенно различных смыслах.
В математике широко используются весьма различающиеся формализации понятия размерности. Все они происходят от простых геометрических образов одномерности, двумерности и трехмерности, но в 20 в. различные «жизненные» пути очень сильно отдалили их друг от друга. Имеется несколько неэквивалентных топологических понятий размерности, понятие размерности линейного пространства, хаусдорфова метрическая размерность (которая может принимать и нецелые значения) и т. д. Между этими понятиями существуют разнообразные и вовсе не жесткие связи. Даже если к какому-то математическому объекту приложимы несколько понятий размерности, они могут не совпадать по значению. Внутри самой математики невозможно указать основания, выделяющие какое-то одно значение размерности (каким бы понятием размерности не пользоваться); точнее говоря, для каждого значения размерности можно подобрать математическое свойство, выделяющее именно это значение. Можно оказать, что в математике различные значения размерности равноправны.
В физике ситуация совсем иная. Трехмерность реального пространства является фундаментальным физическим фактом, определяющим, как показал впервые Эренфест, качественные особенности физических явлений. Трехмерность, пожалуй, можно назвать наиболее фундаментальным физическим законом, имеющим количественное выражение. Возникает естественный вопрос: абсолютен ли закон трехмерности? Ведь этот закон, осознанный наукой на первых же ее шагах, сохранял свою силу на протяжении двух с половиной тысячелетий; за то же время в механике, например, сменилось (обнаружив ограниченную применимость) три поколения законов движения.
Но прежде чем рассматривать размерность реального пространства, физика должна указать математический язык, на котором следует выражать свойство размерности, и способы эмпирического установления, «измерения» значения размерности при расширении области явлений, изучаемых физикой. А поскольку размерность — свойство геометрического, пространственно-временного описания, физический анализ понятия размерности должен быть сопряжен с анализом эволюции и пределов применимости геометрического описания в физике вообще.
Нужды современных физических теорий в описании размерностной структуры пространства-времени вполне удовлетворяются математическим понятием многообразия. Обычно считается, что если физике и понадобится какое-то обобщение геометрического языка, то это обобщение будет находиться в пределах применимости топологических представлений о размерности. Топология, как известно, занимается структурами, связанными с понятием непрерывности. Сама же физика — квантово-релятивистская физика — привела к гипотезам фундаментальной длины, квантованного (дискретного) пространства-времени; и хотя обсуждаемая величина фундаментальной длины за несколько десятилетий уменьшилась с 10-13 см до квантово-гравитационной длины l = (hG/c3)1/2 = 10-33см, для дальнейшего ее уменьшения или обращения в ноль оснований не видно. В то же время идея фундаментальной длины, как мы увидим, не укладывается в рамки топологического подхода.
Проблема размерности пространства, которой посвящена эта книга, имеет два основных аспекта:
1) математическое описание размерностной структуры и физическая адекватность языка такого описания,
2) физический статус факта 3-мерности пространства, или, с учетом теории относительности, 3+1-мерности пространства-времени.
Оба эти вопроса имеют продолжительные истории, и оба заслуживают специального анализа в связи с тем положением, которое занимает понятие размерности пространства-времени в физической картине мира.
Дополнительные основания для внимательного отношения к понятию размерности и к факту 3+1-мерности пространства-времени дает современная ситуация в теоретической физике. Здесь рассматриваются и явно модельные 1-, 2-, 2+e -мерные варианты теории поля (модели искомой теории), и претендующие на описание реальности многомерные (11-мерные, например) теорий поля с компактификацией «лишних» измерений; в супергеометрии радикально меняется и смысл «отдельного измерения», которое уже соответствует не числовой действительной оси, а грассмановой алгебре с одной образующей; важную роль играет метод размерной регуляризации в неабелевых калибровочных теориях; и т. д. И в целом роль понятия размерности в физике ощущается все более явно.
Вкратце о содержании книги.
Историко-научный анализ в этой книге тесно увязан с методологическим. Автор исходит из того, что глубокое понимание научной проблемы в данный момент и перспектив ее развития возможно только в историко-научном контексте. В особенности это относится к фундаментальным проблемам, к числу которых принадлежит и проблема размерности пространства.
Историко-научный материал дает возможность естественным путем подойти к современному состоянию проблемы размерности (в онтогенезе повторить филогенез). Рассмотрение творчества Пуанкаре, Эйнштейна, Эренфеста в связи с вопросом размерности (гл. 2—4) прежде всего должно убедить в существовании самой проблемы. Убедить в том, что вопрос о размерности простраиства-времени только на первый взгляд может показаться тривиальным, бесструктурным.
Кроме того, анализ конкретных фактов истории науки позволит нам подготовить и наметить направления, в которых будет развит (в гл. 6—8) подход к размерности как к физической величине, обладающей определенным эмпирическим статусом и связанной с фундаментальными физическими структурами: с метрической структурой пространства-времени, с законами сохранения, с проблемой расходимостей и др.
Особое значение для книги имеет пятая глава, посвященная конфликту между квантовыми представлениями и геометрией ОТО. Квантово-гравитационные ограничения на геометрическое описание, теоретически выявленные впервые М. П. Бронштейном еще в 1935 году, наиболее убедительно в настоящее время свидетельствуют о неизбежности обобщения используемой модели пространства-времени. Это обстоятельство оправдывает и внимание к размерности — наиболее общему количественному свойству пространственно-временного описания.
Анализ соотношения метрических и топологических структур с учетом характера квантово-релятивистских ограничений приводит к новому, метрическому, подходу к понятию размерности (гл. 6). С помощью такого понятия, как оказывается, можно придать вполне определенный смысл утверждению о зависимости числа измерений от масштабов явления (топологические понятия размерности для этого принципиально непригодны).
Метрический подход к размерности оказывается плодотворным и в применении к риманову пространству-времени ОТО (гл. 7). Для геометрии Минковского 4-мерность пространства-времени прямо связана с 10-параметричностью группы Пуанкаре, описывающей 10 независимых симметрии пространства-времени и порождающей в силу теоремы Нетер 10 пространственно-временных законов сохранения энергии-импульса-момента. Связь размерности и симметрии пространственно-временного описания удается обобщить и на случай общей римановой геометрии, если исходить из метрического понятия размерности. Размерностную однородность 3+1-мерного пространства-времени ОТО можно описать, как оказывается, 10-параметрической квазигрупповой симметрией, которая переходит в группу Пуанкаре в случае плоской геометрии. Тем самым осуществляется связь в духе принципа соответствия между псевдоримановой геометрией и геометрией Минковского.
Последняя глава книги посвящена тому
положению,
которое занимает понятие размерности пространства-времени в современной
физике и космологии, и возможной роли этого понятия в будущем.
Предыстория понятие числа измерений
на протяжении двух с половиной тысячелетий
Идеи и образы, связанные с понятием размерности, появились, когда наука делала свои первые шага. Тогда же было обнаружено фундаментальное свойство мироздания — свойство, которое сейчас называется трехмерностью. За два с половиной тысячелетия наука прошла по пути от теоремы Пифагора к теоремам о неполноте математики и от закона рычага к законам квантово-релятивистской физики. Изменились за это время и понятие размерности и отношение к факту трехмерности физического пространства.
В этой главе мы проследим эволюцию проблемы размерности, извлекая из реального исторического процесса и очень кратко описывая лишь некоторые, правда, наиболее существенные, эпизоды. При этом, конечно, нужно отдавать себе отчет, что подлинное понимание слов, сказанных столетия и тысячелетия назад, может быть достигнуто только при учете реального историко-научного, историко-культурного контекста.
Образы, связанные со свойствами размерности, были важным компонентом картины мира, которую создавали пифагорейцы (VI—IV вв. до н. э.) *. Этой картине присущи были космогоническое видение мира и переплетение числовых, геометрических и материальных объектов, доходящее до их отождествления. Приписываемая самому Пифагору формулировка исследовательской программы «Все есть число» делала вполне естественным такое отождествление. В пифагорейской картине мира единица отождествлялась с точкой, двойка — с линией, тройка — с плоскостью и четверка — с телом. В те времена казалось совершенно естественным отождествлять двойку с фигурой, определяемой двумя точками, — отрезком прямой; тройку — с фигурой, определяемой тремя точками, — треугольником; и, аналогично, четверку — с тетраэдром. На языке топологии 20 в. можно сказать, что пифагорейцы занумеровали «в естественном порядке» четыре первых симплекса: нульмерный —1, ..., трехмерный — 4. Отсюда становится вполне понятным, что факт трехмерности материального мира проявлялся в пифагорейской науке как утверждение о том, что 4 — «последнее» число.
< >
* Глубокий анализ
античной
науки см. в кн. [Рожанский, 1979; Гайденко, 1980]. Автор благодарен И.
Д. Рожанскому за обсуждение вопросов, затронутых в этой главе.
В конце книги уместно сформулировать задачи, которые автор ставил перед собой, предоставив читателю судить (теперь уже со знанием дела) как о разумности самих задач, так и об удовлетворительности их решения.
Одной из главных целей автора было привлечь внимание к той огромной нагрузке, которую несет на себе понятие размерности в сооружении, называемом физической моделью реальности (в данном контексте обычное выражение «физическая картина мира» становится слишком плоским из-за своей двумерности). Трехмерность пространства — это, пожалуй, известный дольше всех других фундаментальный физический закон, сохранивший свою силу до наших дней. Связь тона струны с ее длиной, закон рычага, закон Архимеда, которые могли бы сравниться с законом трехмерности своим древним происхождением, давно растворились в гораздо более общих законах, а трехмерность (изменившись по форме своего выражения) сохранила свою фундаментальность. Поэтому автору особенно важным казалось спустить понятие размерности физического пространства-времени с почти недосягаемой для анализа высоты, на которой это понятие оказалось по указанным, вполне естественным причинам.
Для достижения этой цели автор попытался
1) на основе биографии понятия размерности, во-первых, показать, что адекватное восприятие понятия размерности пространства-времени возможно только в рамках структуры проблемы размерности, включающей и математическую, и теоретико-физическую и эмпирическую компоненты; и во-вторых, создать у читателя ощущение живого, незавершившегося процесса эволюции проблемы размерности;
2) показать, что уже имеющиеся в математике способы описания размерностной структуры, по-видимому, недостаточны для целей физической теории, синтезирующей квантовую теорию и ОТО, и, кроме того, предложить более подходящее математическое описание;
3) показать, что и в рамках работающих моделей пространства-времени размерностная структура, если ее описывать на метрическом языке, обладает неиспользованными возможностями, прежде всего в связи с симметриями пространственно-временного описания (само количество симметрии s определяется размерностью пространства-времени п: s = n(n+1)/2);
4) в современной теоретической физике выявить свидетельства возрастающей роли геометрического языка вообще и понятия размерности в частности;
5) привести конкретные соображения, иллюстрирующие возможное значение понятия размерности для будущего развития авангардных областей физики — микрофизики и космологии.
Наименее убедительны, по-видимому, результаты, достигнутые на последнем направлении. Это, впрочем, неудивительно. Ведь речь идет о будущем, всегда сопряженном с неизвестностью. Но именно будущее развитие физики должно показать, насколько оправдано внимание к проблеме размерности физического пространства-времени.
Важность понятия размерности связана с его способностью описывать общие свойства разнообразных структур. Подтверждает это, хотя и очень косвенно, удивительная «приложимость» понятия размерности. Не случайно, что из физико-математической сферы оно так легко проникает в тексты из весьма различных и далеких областей: в заметку о молодом поэте («У этого свойства много имен: познать седьмым чувством, открыть четвертое измерение...»1), в статью экономиста («система оплаты должна быть двухмерной»2), в заметки с кинофестиваля («Экран представляет реальность не в трех и даже не в четырех..., а в ста измерениях»3), в политический комментарий («Очевидно, «глубина души» правителей Тель-Авива имеет два измерения...»4), в литературоведение («Народ в «Войне и мире»... — многолик и многомерен»5, «все более явственно выступающая «одномерность» людей»6), в художественную литературу («Тем, кто хорошо знаком с пятым измерением...»7) и т. д.
Это обилие примеров, в высшей степени не физико-математических, говорит, конечно, и о характерной геометричности человеческого мышления, и об интенсивном (иногда слишком) проникновении «в жизнь» научных понятий в эпоху, когда радикально изменяется положение науки внутри культуры и в жизни общества. Но в то же время эти примеры демонстрируют и способность понятия размерности выражать общие свойства весьма различных структур, которые человек встречает в мире.
Возвращаясь теперь к физико-математической проекции того сложного мира, в котором есть и кинофестивали и политические комментарии, следует подчеркнуть, что понятие размерности -- наиболее общее количественное понятие в физике. Тот факт, что 3+1-мерность пространства-времени пережила четыре пространственно-временные революции — аристотелевскую, ньютоновскую и две революции, соответствующие СТО и ОТО, казалось бы, оставляет мало надежд на будущую конструктивную роль понятия размерности в развитии физики. Однако современная ситуация в теоретической физике позволяет усмотреть некоторые признаки того, что понятию размерности еще предстоит участвовать в важных событиях.
1
«Комсомольская
правда», 23.Х.1977.
2 «Правда»,
29.VI.1982.
3 «Литературная
газета», 2.VIII.1978.
4 «Известия»,
27.1.1979.
5 Маймин Е. А.
Лев Толстой. — М., 1978, с. 84.
6 Зверев А.
Вступительная
статья. — В кн.: К. Воннегут. Романы. — М., 1978, с. 7.
7 М. А.
Булгаков.
Романы. — М., 1975, с. 666; см. также: Горелик Г. Е. Воланд и
пятимерные
теории поля. — «Природа», 1978, № 1, с. 159.
П. ЭРЕНФЕСТ
Каким образом в
фундаментальных
законах физики проявляется то, что пространство имеет три
измерения?*
* Ehrenfest P. In what way does it become manifest in the
fundamental
laws of physics that space has three dimensions?—«Proc. Amsterdam
Acad.»,
1917, v. 20, p. 200—209.
(Представлено
Г. А. Лоренцем на заседании 26 мая 1917 г.)
Введение
«Почему у нашего пространства именно три измерения?», или, другими словами, «Какие особенности отличают геометрию и физику в R3 от геометрий и физик в других пространствах Rn?» Будучи поставленными таким образом, эти вопросы, возможно, не имеют смысла. Несомненно, они подвержены справедливой критике. Потому что действительно ли пространство «существует»? Является ли оно трехмерным? И затем сам вопрос «почему»! Что подразумевается под «физикой» в R4 или R7?
Я не буду пытаться найти лучшую форму
для
этих вопросов. Возможно, другие преуспеют в указании некоторых более
сингулярных
свойств R3, и
тогда
станет ясным, каковы те «правильные» вопросы, для которых наши
рассмотрения
являются подходящими ответами.
§ 1. Гравитация и планетарное движение
Для планетарного движения, как мы увидим, имеется различие между R3 и R2 , а также между R3 и Rn с большим п по отношению к устойчивости круговых траекторий. В R3 малое возмущение оставляет траекторию финитной, если энергия не слишком велика; в отличие от этого в R2 траектория остается финитной для любых величин энергии. В Rn при п > 3 планета падает на притягивающий центр или удаляется на бесконечность. В Rn при п > 3 не существует движений, сопоставимых с эллиптическим движением в R3, — все траектории имеют характер спиралей.
Для притяжения, под влиянием которого планета движется по орбите в пространстве Rn, мы полагаем kMm/rn-1, при п > 2 этому соответствует потенциальная энергия:
V(r) = — kMm/[(n-2)rn-2] (1)
Мы выводим этот закон
притяжения
из дифференциального уравнения Лапласа—Пуассона. Это значит: мы
предполагаем,
что сила направлена к центру и является функцией только от r,
так
< >