// Исследования по истории физики и механики, 1993-1994. М., Наука, 1997, с.79-86.
1. Факт трехмерности пространства
2. Эмпириотеоретик в эпоху неевклидовой геометрии
На тему, вынесенную в заглавие этой статьи, автор впервые стал размышлять в 1979 г., накануне защиты своей диссертации. И размышления эти были не историко-, а, скажем так, социально-научными. Дело в том, что диссертанту стало известно, что в защите собирается участвовать третий — добровольный —оппонент. Это был прекрасно сохранившийся реликт позапрошлого этапа социально-научной истории нашей страны. Его манера крыть трехэтажным диаматом была хорошо известна, и не приходилось рассчитывать на то, что он не наизусть знает "Материализм и эмпириокритицизм".
С помощью цитат из этой книги всякую попытку говорить о проблеме размерности пространства легко было обвинить в идеализме и реакционности. А поскольку Ленин так квалифицирует взгляды Маха на размерность пространства [1, с. 186], то имелась также возможность употребить старое грозное обвинение в махизме.
Диссертация называлась "Взаимодействие физики и математики при формировании современных представлений о размерности пространства", и взгляды Маха в ней лишь упоминались, но проблема размерности стояла в центре рассмотрения. Время тогда было малоподходящим для того, чтобы заниматься уточнением формулировок Маха и Ленина и сопоставлять их взгляды с состоянием и историческим опытом науки в 1908 г. Еще менее уместно было говорить о политической, в основном, направленности ленинской книги. Поэтому диссертант, в целях самозащиты от третьего оппонента, запасся цитатами из "Философских тетрадей", где за идеализмом признаются некоторые заслуги в развитии философии. Однако эта предосторожность оказалась излишней. Ветеран "физического материализма", видимо, давно не открывал настольные книги и забыл, что Маху досталось не только за комплексы ощущений, но и за сомнения в трехмерности пространства. На диссертанта обрушились обвинения лишь в "морально-патриотических" дефектах, что - в конце 70-х годов - только посмешило физико-математическую аудиторию.
Однако вклад Маха в проблему размерности не стал предметом внимательного анализа и в монографии [2], и, очевидно, не только потому, что этот вклад относится к предыстории проблемы и что трудно "объять необъятное". Скорее, проявил бдительность собственный - внутренний -- Главлит.
Только восполняя этот пробел, можно убедиться, насколько существенным этапом предыстории были размышления Маха, насколько они способствовали переходу от предыстории к истории проблемы размерности пространства.
Факт трехмерности пространства, осознанный теоретически еще пифагорейцами, привлекал к себе внимание выдающихся мыслителей от Аристотеля до Лейбница, однако существенно продвинуться в анализе этого понятия не удавалось. Оно оказалось слишком фундаментальным и в математическом и в физическом смыслах. Все попытки математически "доказать" трехмерность содержали логический круг. Лишь восприятие трехмерности как физического факта позволило Канту выдвинуть смелую идею о физических пространствах других размерностей (хотя и существующих лишь в "метафизическом смысле").
Идеи Канта, вероятно, стали отправным пунктом для чешского математика и логика Б. Больцано (1781-1848). В его работе 1815 г. "Попытка объективного обоснования учения о трех измерениях пространства" (опубликованной в 1845 г.), правда, речь идет не о физическом статусе факта трехмерности, а о математическом языке, на котором свойство размерности можно описать [3]. Но физический и математический аспекты проблемы размерности взаимосвязаны. Хотя Больцано не удалось "объективно обосновать" факт трехмерности, он весьма преуспел в выработке языка, на котором свойство размерности выражается в локальной форме, более приемлемой для естествоиспытателя, чем абстрактное, сразу глобально бесконечное понятие n-мерного линейного пространства (путь развития идеи n-мерного линейного пространства проходил далеко от физики [4]).
Больцано обнаружил даже два подхода к понятию размерности. Для нас особенно интересен первый, опиравшийся на идею параметрической зависимости и выражавший свойство трехмерности в следующей теореме:
"Имеется система четырех точек, из которых ни одна не определена как сама по себе, так и своим отношением к остальным трем, поскольку оно должно быть охвачено чистым понятием. Однако если такая система четырех точек дана, то каждая другая точка и каждая совокупность точек (значит, всякая пространственная вещь) может быть детерминирована одними только понятиями, выражающими ее отношение к этим четырем точкам" [3].
Язык здесь не слишком однозначен. Однако если учесть, что для Больцано "отношение одной точки к другой" означало расстояние между этими точками, то окажется, что он выразил свойство размерности на метрическом языке. По существу, речь идет о том, что в n-мерном пространстве максимальное число точек, взаимные расстояния между которыми могут задаваться независимо, равно n +1. И положение всякой другой точки задается ее расстояниями до фиксированных.
Не менее важно то, что здесь свойство размерности выражено в локальной, эмпирически "проверяемой" форме и глубоко родственно лейбницевской - реляционной - концепции пространства как отношения тел. (Второй, более поздний и тоже локальный подход Больцано к размерности имел уже гораздо определенную математическую форму, фактически соответствующую топологическому понятию индуктивной размерности [5, 6].)
Вторую половину XIX в. в истории математики можно назвать эпохой неевклидовой геометрии. Именно тогда неевклидова геометрия получила полное признание в математике. Логическим завершением идеи неевклидовой геометрии стало рождение общей римановой геометрии, "зарегистрированное" в знаменитом докладе Римана 1854 г.
В физической, или философско-физической, геометрии предшествующего периода слово "пространство" должно было писаться с большой буквы. Пространство как физический объект отождествлялось с математическим понятием евклидова пространства, это был единственный в своем роде "предмет", и вопросы о его устройстве, каких-то еще неизвестных его свойствах не могли даже ставиться. Э. Маху принадлежат важные заслуги в укоренении идеи, что физическое Пространство может описываться различными математическими моделями. Это представление сыграло стимулирующую роль в генезисе ОТО [7].
Опираясь на понимание того, что "основные допущения геометрии, к которым привел опыт, представляют собой идеализации этого опыта" и что "разные понятия могут в области, доступной наблюдению, одинаково точно выражать факты". Мах развивает взгляд на "пространство как частный случай многократно протяженной величины" [8, с. 391, 413].
Мах от имени физиков выражает благодарность математикам "за выяснение того факта, что существует несколько удовлетворяющих делу геометрий... за устранение традиционных ограничений мышления" [8, с. 415]. Отсюда можно было бы предположить, что Мах просто популяризировал в физике громкие математические результаты по неевклидовой геометрии. Однако фактически дело обстояло иначе.
В книге "Познание и заблуждение" (1905) он говорит о допустимости в принципе (если "вынудит" опыт) перехода к неевклидовой геометрии в двух направлениях: к неевклидовой кривизне (к геометрии Лобачевского или Римана) и к "неевклидову" числу измерений, отличающемуся от трех:
"Если мы оперируем с абстрактными вещами, как то атомами и молекулами, которые по самой природе своей не могут быть даны нашим чувствам, мы не имеем более никакого права обязательно мыслить эти вещи в отношениях, в относительных положениях, соответствующих евклидову трехмерному пространству нашего чувственного опыта" [8, с. 417].
В примечании к этим словам Мах поясняет: "Находясь еще под влиянием атомистической теории, я попытался однажды объяснить спектральные линии газов колебаниями друг относительно друга атомов, входящих в состав молекулы газа. Затруднения, на которые я наткнулся при этом, навели меня в 1863 г. на мысль, что нечувственные вещи не должны обязательно быть представляемыми в нашем чувственном пространстве трех измерений. Таким путем я пришел к мысли об аналогах пространства различного числа измерений... Мысль о конечных пространствах, сходящихся параллельных линиях и т. д., которая могла возникнуть только при историческом изучении геометрии, была тогда далека от меня".
Интригующая неясность этого пояснения (теория спектров в 1863 г. !?) побуждает обратиться к более ранним работам Маха. Истинный путь к мысли о неевклидовой размерности вполне отчетливо раскрывается в его замечательной книге 1872 г. "Принцип сохранения работы".
Обсуждая одну из любимых своих идей - об интеллектуальных ограничениях, сковывающих развитие науки. Мах пишет:
"Нет
никакой надобности представлять себе только мыслимое пространственным,
т. е. с
отношениями видимого и осязаемого, и это столь же мало необходимо, как
и
представлять себе это мыслимое в определенной высоте тонов.
Посмотрим
теперь, какой ущерб наносит это ограничение. Система из п точек
в
пространстве с числом измерений = r определена по
форме и по величине, когда даны расстояния между каждыми
двумя точками... rn - r(r-1)/2... Между п
точками, если
комбинировать их по две, мыслимы n(n-1)/2 расстояний и,
следовательно,
в общем больше, чем в пространстве данного числа измерений может быть
дано...
Для пространства трех измерений число мыслимых расстояний больше числа
возможных в этом пространстве расстояний, как только число точек больше
четырех, [т. е. уже молекуле, состоящей из пяти атомов, должно быть
"интеллектуально" тесно в трехмерном пространстве. – Г.Г.]...
Таким образом, чем больше число атомов в молекуле, тем больше должно
быть число
измерений пространства, чтобы все мыслимые связи между ними могли быть
осуществлены в действительности. Мы привели только пример, чтобы
показать, как
ограниченно мы поступаем, представляя себе химические элементы
расположенными
рядом друг с другом в пространстве (трех измерений), и какое множество
отношений между элементами может ускользнуть от нас, когда мы выражаем
их в
формуле, которая именно их обнять не может" [9, с. 33-35].
Это построение Мах снабдил пространным примечанием автобиографического характера [9, с. 64], объясняя, как он пришел "к взгляду, что вовсе не необходимо представлять себе молекулярные процессы пространственно, по крайней мере, не необходимо представлять себе их в пространстве трех измерений". Упомянув о своей работе над учебником физики для медиков в 1862 г., он указал, что в его лекциях по психофизике 1863 г. "уже ясно высказано, что мы не вправе мыслить атомы пространственными".
"Медицинская", психофизическая направленность его тогдашних занятий подкреплялась общим расцветом психофизиологии, или физиологии восприятий (Г. Фехнер и др.). С учетом этого вполне естественно, что Мах был хорошо знаком с трудами одного из крупнейших специалистов в психологии того времени - И. Ф. Гербарта (1776-1841). Следует, правда, сказать, что в то время понимание слова "психология" значительно отличалось от нынешнего. Книга Гербарта 1824 г. называлась "Психология, как наука, вновь обоснованная на опыте, метафизике и математике" и включала в себя в большей мере то, что сейчас называют философией. Значительное внимание Гербарт уделял понятиям пространства и времени. Для его взглядов в целом характерно лейбницевское понимание пространства и времени как отношения тел и явлений и, соответственно, неприятие учения (зрелого) Канта об априорно заданных и логически единственно возможных формах пространства и времени. Книгу 1824 г. Гербарт заканчивает таким "психологическим" утверждением: "Пространственное и временное, по своему понятию, - нечто относительное; всякое реальное, рассматриваемое само по себе, есть нечто абсолютное, поэтому-то, и не почему другому, реальное само по себе невременно и непространственно" [10, с. 89]. Такое лейбницианство, как известно, было присуще и Маху.
Однако геометрический априоризм Канта возник не на ровном месте. Априорный элемент присутствовал и у Лейбница, причем именно в вопросе о трехмерности пространства, которую он считал следствием "слепой геометрической необходимости" [2, с. 13-14]. И Гербарт воспроизвел этот элемент априоризма в своем "Учебнике психологии" (1834):
"Точно так же необходимо в метафизике учение об умопостигаемом пространстве, которое вполне отчетливо построится по всем трем измерениям - просто для потребности метафизического мышления, без всякой примеси чего-либо чувственного" [10, с. 148].
Мах, последовательно и мощно развивавший лейбницевскую реляционную концепцию пространства, здесь споткнулся: "мне бросилось в глаза в выводе умопостигаемого пространства у Гербарта совершенно произвольное, а потому и ошибочное ограничение числа измерений. Тогда мне стало ясно, что для нашего разума мыслимы аналогичные пространственным отношения произвольного числа измерений.
Мои попытки механически объяснить спектры химических элементов и несовпадение теории с опытом усилили во мне тот взгляд, что мы не должны представлять себе химические элементы в пространстве 3 измерений" [9, с. 36].
Мах отчетливо осознавал радикальность своей идеи:
"Я однако же не осмелился открыто высказать этот взгляд перед ортодоксальными физиками. В моих заметках в журнале "Schloemlich'a" 1863, 1864 гг. можно поэтому найти только некоторые намеки.... Взгляды насчет пространства и времени я впервые изложил в моих лекциях по механике летом 1864 г. и в моих лекциях по психофизике, читанных зимой 1864-65 гг. перед очень большой аудиторией, среди которой было и много профессоров Грацского университета. Важнейшие и наиболее общие результаты этих воззрений я опубликовал в форме кратких заметок в журнале Фихте Zs. fur Philos. 1865, 1866. При этом я был совершенно свободен от всяких внешних влияний, так как статья Римана была обнародована лишь в 1867 году и оставалась совершенно мне не известной" [9, с. 65].
Самостоятельность своего хода мыслей Мах защищает от знаменитого доклада Римана 1854 г. Эта защита вызывает недоумение не только своим приоритетным пылом (необычным для Маха и отражающим, очевидно, значение, которое он придавал своей идее). Больше должно удивлять, от чего Мах защищается. Ведь главное открытие, сделанное Риманом в его докладе, - возможность общей неевклидовой геометрии переменной кривизны. А допущение произвольного числа измерений у Римана соответствует лишь математической общности (в линейной геометрии произвольное значение размерности уже было освоено). Что касается "применения к пространству" (так называется последний раздел римановского доклада, где подразумевается физическое пространство, или Пространство, - в немецкой орфографии это различие менее заметно), то Риман фактически оставляет открытым только вопрос о метрической структуре пространства (а не размерности, или, по его выражению, "протяженности") [11, с. 30-33].
Кстати говоря, Мах "применял к Пространству" не общую риманову геометрию (как Риман), а геометрию постоянной кривизны. А та метрическая характеристика размерности, которую Мах обсуждал, явно подразумевала представление о метрической зависимости точек в евклидовой геометрии (во всяком случае, только в евклидовой - плоской, линейной -геометрии степень метрической независимости вывести нетрудно).
Так что идейная независимость от доклада Римана обоснования не требует. А вот сам способ определения, "измерения" размерности с помощью системы точек заставляет вспомнить о предшественнике, работа которого отстоит чуть дальше по времени, но зато гораздо ближе в пространстве. Соотечественник Маха — Больцано — в работе, опубликованной в Праге в 1845 г., как мы помним, использовал ту же самую идею в попытке "объективно обосновать трехмерность" [3]. Конечно идея метрической зависимости системы точек не так уж грандиозна, чтобы не могла возникнуть независимо у разных исследователей. Следует, однако, иметь в виду, что больцановская конструкция не просто дает некий язык для описания размерности, но, одновременно, и некий способ "измерений" размерности; а значит, мыслимы становятся, вообще говоря, значения размерности, отличные от 3. Снятие такого "ограничения мышления" могло стать для Маха отправным пунктом.
Интересно было бы, конечно, обнаружить прямые свидетельства о том, из чьих рук получил Мах проблему размерности пространства. Однако об интересах историков естествоиспытатели заботятся не в первую очередь. Поэтому по большей части приходится довольствоваться косвенными данными.
Не достает прямых свидетельств и о том, кто взял проблему размерности из рук Маха, но в этом случае косвенные данные выглядят гораздо более основательно. Это особенно важно, поскольку Мах своим анализом проблемы подготовил переход от предыстории (с преимущественно методологическим содержанием) к истории (для которой характерны конкретные физико-математические построения).
Мах следующим образом подытожил свой анализ: "Указанием многообразии, родственных пространству, но от него отличных, были возбуждены совершенно новые вопросы: Что такое пространство физиологически, физически, геометрически? К чему сводятся его особые свойства, так как мыслимы и другие? Почему пространство трехмерно? и т. д." [8, с. 420].
В ответах на эти вопросы особенно преуспели А. Пуанкаре и П. Эренфест. Хотя у них не найти прямых указаний на источники их интересов к размерности, трудно сомневаться, что влияние Маха было весьма существенным.
Пуанкаре, которому особенно удалось продвинуться в математическом описании понятия размерности [2, гл. 2], в статье 1912 г. "Почему пространство имеет три измерения?" [12] разбирает те же вопросы, которые сформулировал Мах. А путь к индуктивному топологическому определению, которым шел Пуанкаре, проходил через психофизиологические и физические соображения. Хорошо известна и философская близость взглядов Маха и Пуанкаре.
В решении физической проблемы размерности шаг принципиальной важности сделал Эренфест. Заглавием своей статьи 1917 г. он также сделал вопрос - "Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения?" [13]. Сама по себе эта формулировка заставляет вспомнить предположение молодого Канта о связи между размерностью и фундаментальным физическим законом: "Трехмерность происходит, по-видимому, оттого, что субстанции в существующем мире действуют друг на друга таким образом, что сила действия обратно пропорциональна квадрату расстояния" [14, с. 69].
Однако главным результатом Эренфеста стала связь размерности не с самими фундаментальными законами, а с их наблюдаемыми следствиями. Именно поэтому работа Эренфеста обосновала факт трехмерности далеко за пределами обыденного, макроскопического опыта - в атомных и в астрономических масштабах. И, что не менее важно, Эренфест дал образец решения проблемы при дальнейшем расширении области изучаемых явлений [2, гл. 4].
Нет свидетельств, что предположение Канта как-то подействовало на Эренфеста, который был вообще довольно безразличен к философии. Ни в его переписке, ни в статьях не встретишь имена философов или ссылки на их работы. Исключение составляет Мах (исключение, впрочем, вполне объяснимое физической ориентацией его философии). Эренфест внимательно читал его книги, в частности "Познание и заблуждение" [8, с. 28, 46, 47]. Поэтому эренфестовский анализ спектра атома и в n-мерном пространстве можно рассматривать как определенный (отрицательный) ответ на гипотезу Маха о многомерности пространства в молекулярной физике.
Развитие физики показало, что в трехмерном пространстве не тесно и молекуле, состоящей из пяти атомов, и ядру, состоящему из пяти нуклонов. Однако это вовсе не исчерпало проблему, поставленную впервые Махом. В последние годы фундаментальная теоретическая физика все более привыкает к гипотезе, согласно которой единая теория поля не помещается в 3+1-мерном пространстве-времени, нужно 26 измерений. При этом в рассматриваемых моделях дополнительные 22 измерения становятся заметны только в планковских, квантово-гравитационных масштабах (~10-33 см), а в макроскопических масштабах действуют обычные 3+1 измерений [16]. Тем самым намечается ответ на важный вопрос (не поставленный, надо сказать, Махом): как несомненную 3-мерность в макроскопических масштабах совместить с возможной много (мало) мерностью в иных масштабах? Хотя многомерность пространства в единой теории поля имеет гораздо более серьезные основания, чем соображения Маха о 5-атомной молекуле, пока речь идет только о "теоретической" тесноте 3+1-мерности. Если же дополнительные измерения будут надежно зафиксированы в эксперименте, надо будет вспомнить, что в устранении соответствующей "границы мышления" важную роль сыграл Эрнст Мах.
литература
1. Ленин В. И. Материализм и эмпириокритицизм // Полн. собр. соч. T. 18.
2. Горелик Г. Е. Размерность пространства (историко-методологический анализ). М.: Изд-во МГУ. 1983. 216 с.
3. Bolzano В. Versuch einer objektiven Begruedung der Lehre von den drei Dimensionen des Raumes (1815) // Abhandlungen der Koeniglichen boehemischen Gesellschaft der Wissenschaften. Prague. 1843-44 (publ. 1845). Bd. 3 (5). S. 201-215; Schriften. Geometrische Arbeiten. Prag, 1948. Bd. 5. S. 51-65.
4. Розенфельд Б.А. История неевклидовой геометрии. М.: Наука, 1976. 320 с.
5. Больцано Б. Парадоксы бесконечного (1851). Одесса: Матеэис. 1911. 74 с.
6. Johnson DM. Prelude to dimension theory // Arch. hist. exact sci. 1977. Vol. 17. P. 261-290;
1979. Vol. 20. P. 97-130; 1981. Vol. 25. P. 85-110.
7. Визгин В. П. Роль идей Маха в генезисе общей теории относительности // Эйнштейновский сборник, 1986-1990. М.: Наука, 1990. С. 49-97.
8. Мах Э. Познание и заблуждение (1905). М.: Изд-во С. А. Скирмунта, 1909. 471 с.
9. Мах Э. Принцип сохранения работы (1872). СПб.: Изд-во С. А. Скирмунта, 1909. 68 с.
10. Гербарт И. Ф. Психология. СПб., 1895. 280 с.
11. Риман Б. О гипотезах, лежащих в основании геометрии (1854; публ. 1867) // Альберт Эйнштейн и теория гравитации. М.: Мир, 1979. С. 18-33.
12. Пуанкаре А. Почему пространство имеет три измерения? (1912) // Последние мысли. Пг., 1923. С. 32-47.
13. Эренфест П. Каким образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что пространство имеет три измерения? (1917) // Горелик Г. Е. Размерность пространства (историко-методологический анализ). С. 197-205.
14. Кант И. Сочинения. М.: Мысль, 1963. T. 1. 510 с.
15. Эренфест - Иоффе. Научная переписка. Л.: Наука, 1973. 308 с.
16. Морозов А. Ю. Струны в теоретической физике // Эйнштейновский сборник, 1986-1990. М.: Наука, 1990. С. 375-397.