Предел Бремермана и cGh-физика

(English version: Gorelik G. Bremermann's Limit and cGh-physics, 2009 // arXiv:0910.3424v2 [gr-qc])

Ограничивают ли физические законы быстродействие любой системы последовательной обработки данных? Положительный ответ, предложенный H. J. Bremermann’ом в 1962, следует исправить, чтобы обеспечить его совместимость с Общей теорией относительности. В результате, предел Бремермана, пропорциональный массе M системы, Mc²/h = ~ (M/gram)10⁴⁷ бит в секунду на грамм массы, должен быть заменен на обсолютный предел быстродействия (c⁵/Gh)^1/2= ~ 10⁴³ бит в секунду, где универсальные константы c, G, и h - скорость света, гравитационная константа и постоянная Планка.

Ключевые слова: быстродействие обработки данных, предел Бремермана, теория относительности, универсальные физические константы, планковские величины, квантовая гравитация.

Ограничивают ли физические законы быстродействие любой системы последовательной обработки данных («компьютера») ? Положительный ответ на этот вопрос был предложен в 1962 году Г. Бремерманом: максимальное быстродействие - так называемый предел Бремермана Mc²/h = ~ (M/gram)10⁴⁷ бит в секунду на грамм массы, где M – масса компьютера, c - скорость света, и h - постоянная Планка. [1] Этот предел, с энтузиастом принятый Эшби [2], считается важным для основ системного моделирования и вычислимости. [3] Ультра-практичное приложение этой величины привело к пределу быстродействия килограммового ультра-ноутбука ~ 10⁵⁰ бит в секунду. [4] А первое теоретическое приложение нашел сам Бремерман, указавший, что максимальное быстродействие земного компьютера, с массой порядка массы Земли, 10⁷⁵ бит в секунду, мало по сравнению с количеством всех возможных шахматных партий (~10¹²⁰ ) и с числом вариантов черно-белой мозаики в квадрате 100 × 100 элементов (~ 10³⁰⁰⁰).

Однако, даже если быстродействия 10⁴⁷ и 10⁷⁵ и не чрезмерно велики для вычислительных задач, их обратные величины, т.е. длительности одной операции – 10^-47 и 10^-75 сек - неразумно малы для нынешней теоретической физики с учетом проблемы квантовой гравитации. Теория квантовой гравитации (о необходимости которой заявил еще сам Эйнштейн в 1916 году) не создана до сих пор, однако известны характерные пределы физических параметров, за которыми нынешние физические теории не применимы. Это – так называемые планковские величины, составленные из трех универсальных констант c, h, G, входящих в формулировки трех универсальных физических теорий: скорость света c (теория относительности), постоянная Планка h (квантовая механика) и гравитационная константа G (теория гравитации). [5] В частности, планковское время Dt_cGh = (hG/c⁵)^1/2= 10^-43 сек много больше указанных («бремермановских») длительностей элементарной операции, которая ведь должна быть реализована каким-то физическим процессом.

Налицо явное противоречие: предел Бремермана выходит далеко за пределы допустимого в нынешней физике. Чтобы разобраться в причинах этого противоречия, внимательнее рассмотрим сам вывод Бремермана. И прежде всего заметим, что хотя свой предел Бремерман назвал следствием квантовой теории, фактически он опирался и на теорию относительности, поскольку вместе с квантовым соотношением неопределенностей DEDt > h использовал релятивистскую формулу E = Mc². Однако он игнорировал размер компьютера, что неявно подразумевает бесконечную скорость распространения сигнала внутри компьютера и, значит, противоречит теории относительности.

Чтобы оценить минимальную продолжительность операции Dt в компьютере с массой M и линейным размером L, следует учесть квантовое ограничение Dt>h/DE, релятивистское ограничение доступной энергии DE< Mc² и тот факт, что скорость сигнала внутри компьютера не превышает скорость света Dt > L/c .

Из этих трех неравенств следует, что

Dt>max [h/Mc², L/c].

Это привело бы к пределу Бремермана Dt_B = h / Mc² , если бы можно было выбирать L достаточно малой: L< h/Mc. Однако полной свободы в выборе величин L и M нет, поскольку существует гравитация, и здесь на сцену выходит третья универсальная – гравитационная - константа G. Чтобы компьютер не превратился в черную дыру и не исчез за горизонтом событий, должно выполняться условие L > GM/c². В результате получаем минимальное время операции

Dt_min = (Gh /c⁵)^1/2 = ~ 10^-43 sec, то есть планковское время Dt_cGh.

Следовательно, получаем абсолютный – не зависящий от массы компьютера – максимум быстродействия

(Dt_cGh )^-1 = (c⁵/Gh)^1/2 = ~ 10⁴³ бит в секунду.

То, что предел быстродействия, предложенный Бремерманом, нуждается в исправлении, не уменьшает значения самого вопроса об ограничениях на информационные процессы, связанных с фундаментальными законами физики. Бремерман, в первой своей публикации на эту тему, именовал свой предел «предположением» (conjecture). И хотя он не пояснил, в чем сомнительность, такая осторожность представляется оправданной. Дело в том, что соотношение неопределенности – следствие нерелятивистской квантовой механики, и соединение его с релятивистским соотношением E=mc² требует особого анализа.

Проведенное выше cGh-исправление предела Бремермана устраняет релятивистскую непоследовательность, но не заменяет такого анализа. Стоит заметить, что Планк получил cGh-величины из размерностных соображений в чисто метрологическом контексте, когда он только что открыл свою постоянную и еще не понимал, что открыл целый мир квантовой физики. Лишь спустя 35 лет М.П. Бронштейн (1906-1938) обнаружил квантовые границы теории гравитации как пределы применимости пространственно-временного описания. Этим границам, как оказалось, соответствуют планковские cGh-величины, а за этими границами требуется cGh-теория квантовой гравитации. [6]

На нынешнем уровне теоретической физики константы c, G, h имеют одинаково-универсальный статус, и если универсально-максимальный предел быстродействия существует, то его попросту не из чего делать, кроме как из c, G, h.

Благодарю Б. С. Флейшмана, обратившего мое внимание на предел Бремермана.

[1] Bremermann, Hans J. “Optimization through Evolution and Recombination,” in M.C. Yovits, G.T. Jacobi and G.D. Goldstein (eds.). Self-organizing Systems. Washington, DC: Spartan Books, 1962, pp. 93-106.

[2] Ashby W. R. "Introductory Remarks at a Panel Discussion," in Views on General Systems Theory, M. D. Mesaravic (ed.) John Wiley and Sons: New York, NY, 1964, p. 165- 169 [Эшби У. Р. Несколько замечаний. В сб. статей «Общая теория систем». Изд-во «Мир», 1966. с. 173.]. Ashby W. R. Some Consequences of Bremermann's Limit for Information Processing Systems, - in Cybernetic Problems in Bionics, H. Oestreicher and D. Moore (eds.) Gordon and Breach Science Publishers; New York: NY, 1968, p. 69-76.

[3] Флейшман Б. С. Элементы теории потенциальной эффективности сложных систем. 1971.
Klir G.J. Facets of Systems Science. Springer, 2001, p. 144.

[4] Lloyd, S. “Ultimate physical limits to computation,” Nature 2000, v. 406, p. 1047-1056.

[5] Gorelik, Gennady. “First Steps of Quantum Gravity and the Planck Values,” in Studies in the History of General Relativity (Einstein Studies, Vol. 3, Eds. J Eisenstaedt, A J Kox) (Boston: Birkhauser, 1992) p. 364-379.

[6] Горелик Г.Е. «Матвей Бронштейн и квантовая гравитация. К 70-летию нерешенной проблемы» УФН 175 1093 (2005).