М.:
Наука, 1982, 168 с.
Что означает утверждение о трехмерности
пространства?
Как возникли современные представления о размерности пространства в
физике и
математике? Какую роль играет трехмерность
пространства
в фундаментальных законах физики? Этим вопросам посвящена книга.
Рассматривается роль понятия размерности в физике микро-
и мегамира, соотношение различных подходов
к понятию
размерности, взаимосвязь физики и геометрии. Вместе с историей создания
современных представлений о размерности пространства рассказывается
о творчестве замечательных ученых — физиков и математиков: А.
Эйнштейна, П.
Эренфеста, А. Пуанкаре, П. С. Урысона и других.
Для широкого
круга читателей,
интересующихся эволюцией фундаментальных понятий физики.
ОГЛАВЛЕНИЕ
Вводная
глава ... 7
Кратко
о предыстории ... 7
Вопросы
«почему» в науке ... 14
Классическая
модель пространства ... 17
Что
такое топология? ... 20
Глава
I.
Возникновение топологического понятия
размерности ... 24
Начало
современной истории понятия размерности ... 24
Психологизм
Пуанкаре ... 28
Размерность
пространства и топология ... 31
Размерность
пространства и физика ... 39
Дискретность
в квантовой физике и понятие размерности пространства-времени
... 42
Глава
II.
Теория относительности и 3+1-мерность
пространства-времени ... 46
Понятие
размерности пространства и общая теория относительности ... 46
Метрические
и топологические свойства пространства-времени. Представления
Эйнштейна о размерности пространства ... 56
Пятимерные
теории и 3+1-мерность физического пространства-времени ... 65
Квантовая
дискретность и четырехмерный пространственно-временной континуум
... 69
Глава
III.
Размерность — физическое понятие, трехмерность
—физический факт ...
73
«Каким
образом в фундаментальных законах физики проявляется то, что
пространство имеет три измерения?» ... 73
Что
такое физика в n-мерном
пространстве? ... 80
Предпосылки
работы Эренфеста ... 85
Мера
жесткости математической модели пространства-времени. Значение работ о
физике размерности пространства ... 92
Глава
IV.
Возникновение топологической
теории размерности и физика ... 96
Предыстория
топологической теории размерности (Пуанкаре, Брауэр, Лебег) ...
96
Урысон
и Менгер — создатели топологической теория
размерности ... 99
Роль
физики в математическом творчестве Урысона и Менгера
... 103
Глава
V. Размерность
пространства-времени в современная физика ... 109
В
каком смысле выделено значение размерности пространства-времени, равное
3+1? ... 109
Физическое
пространство-время и топология ... 114
Физика
и геометрия ... 120
Что
такое «планковские
величины» и какое отношение они имеют к
квантовой
гравитации? ... 128
Зачем
нужна cGh-теория?
... 132
Размерность
пространства-времени и физика элементарных частиц ... 137
Проблема
размерности пространства и космология ранней Вселенной ... 143
Заключение
... 153
Дополнение.
Основные способы математического описания понятия размерности
пространства … 155
Примечания
... 160
Рекомендуемая
литература о понятии пространства-времени и его свойствах ...
165
Почему
пространство имеет три измерения? Какую роль играет трехмерность пространства в фундаментальных
законах физики?
Что в точности означает утверждение о трехмерности
пространства? Какие существуют возможности для описания понятия
размерности пространства
в математике? Как возникли современные представления о размерности
пространства
в физике и математике? Можно ли допустить, что размерность — это не
просто
какое-то вполне определенное число, а физическая величина, значение
которой в
экстремальных условиях может отличаться от трех?
Всем
этим вопросам посвящена данная книга. Первые два из перечисленных
вопроса послужили названиями замечательных работ А. Пуанкаре [1] и П.
Эренфеста
[2], с которых начинается современный этап развития представлений о
размерности
пространства.
Чтобы
точнее и глубже понять современное состояние проблемы размерности,
лучше всего рассмотреть эту проблему в ее историческом развитии.
Размерность —
только одно из наиболее общих свойств пространства-времени,
а эволюция представлений о пространстве и времени имеет многовековую
историю.
Однако есть основания период с начала XX
в. назвать историей
современных представлений о размерности пространства, а весь
предшествующий
период — предысторией. Такое разделение в некоторой степени условно, но
все же
именно в XX
в. сформировались наиболее существенные элементы современных
представлений
о размерности.
В
физике эти представления прошли путь от априорного числа,
характеризующего абсолютным образом весь материальный мир, до
физического
понятия, связанного со свойствами физических явлений и допускающего
экспериментальное,
эмпирическое обоснование. В математике был пройден путь от свойства
пространства, имеющего довольно неопределенное выражение, до
математических понятий, весьма общим (хотя и не единственным)
образом
уточняющих (или, как говорят математики, формализующих) представление о
размерности пространства.
Изложение
в книге ведется с учетом современного состояния проблемы
размерности и возможного значения этой проблемы для будущего развития
физики.
Дело в том, что состояние физики в настоящее время характеризуется не
только
весьма активным использованием понятия размерности, но и надеждами на
ту важную
роль, которую может сыграть размерность при построении единой теории
фундаментальных взаимодействий. История же всегда дает возможность
глубже и
точнее понять современность.
В
современной науке понятие размерности пространства имеет важное значение в двух существенно различных
смыслах.
Во-первых,
в физике трехмерность пространства,
или (с учетом теории относительности) 3+1-мерность
пространства-времени, как
фундаментальное свойство материального мира определяет наиболее общие
физические законы.
Во-вторых,
размерность пространства — центральное понятие топологической
теории размерности, являющейся одной из важнейших областей топологии и
строящейся для произвольных значений размерности.
Целесообразность
рассматривать совместно формирование представлений о
размерности пространства в физике и топологии определяется следующими
обстоятельствами.
Современные
представления о размерности физического пространства и
топологическое понятие размерности возникли примерно в одно и то же
время
(начало XX
в.), и, что более важно, топологическое понятие размерности имело у А.
Пуанкаре отчетливое физическое происхождение (гл. 1). Есть также
основание
считать, что первый, подлинно физический анализ факта трехмерности
пространства, проведенный П. Эренфестом, был стимулирован развитием
математики
(гл. 3). Формирование современных представлений о размерности
пространства —
интереснейший пример взаимодействия физики и математики (гл. 1, 4).
Понятие
размерности пространства в математических моделях пространства,
используемых физикой, получило наибольшее обобщение в рамках топологии
(хотя
математике известны и такие геометрические модели, в которых
определение
размерности может быть не эквивалентно топологическому, например
так называемые конечные геометрии). Анализ физических представлений о
размерности пространства должен, разумеется, учитывать имеющиеся
возможности
математического описания размерности пространства.
Нуждается
в анализе тот факт, что топологическая теория размерности не
способствовала более глубокому пониманию физической проблемы
размерности
пространства. С точки зрения наиболее глубокой на сегодняшний день
физической
теории пространства-времени — общей теории относительности — физическое
пространство имеет структуру так называемого четырехмерного
псевдориманова
многообразия, структура которого локально, т. е. в малой окрестности
каждой
точки, совпадает со структурой обычного евклидова
пространства. Поэтому для топологической теории размерности
многообразие —
довольно тривиальный объект. Более того, даже точное математическое
представление о многообразии было не таким уж необходимым для физики
(гл. 2).
Обычно оказывается вполне достаточным представление о пространстве как
о
множестве, каждый элемент которого — совокупность чисел (координат), а
о
размерности — как о минимальном числе параметров, необходимом для
«нумерации»
точек пространства. Такие представления соответствуют математическому
уровню
прошлого века.
Кроме
того, топологический подход к размерности физического
пространства-времени несовместим с имеющими интересную историю
гипотезами
дискретного пространства и фундаментальной длины, характеризующей
предел
применимости обычных представлений о непрерывном пространстве-времени.
С этими
идеями, как известно, связывались большие надежды на решение
фундаментальных
проблем физики элементарных частиц. Однако в рамках топологической
модели
физического пространства невозможно совместить дискретную (в микромасштабах) и непрерывную трехмерную (в макромасштабах) структуры физического
пространства. Анализ
представлений о размерности физического пространства интересен также
потому,
что в настоящее время в работах, относящихся к физике элементарных
частиц,
появляются многочисленные конструкции, чуждые обычной модели
физического
пространства. Одномерные струны и двумерные мешки в теории сильных
взаимодействий, квантовая теория поля в пространстве размерностью, не
равной
трем (рассматриваются даже нецелые значения размерности), космология
ранней
Вселенной — весьма различные соображения приводят к рассмотрению
пространств с
размерностью, отличной от трех (гл. 5).
Все
эти обстоятельства делают естественным интерес к фундаментальному
понятию размерности пространства в современной физике.
Автор
глубоко благодарен Б. Г. Кузнецову и У. И. Франкфурту за помощь при
работе над этой книгой.